[bzoj5093][第二类斯特林数][NTT]图的价值-白红宇

[bzoj5093][第二类斯特林数][NTT]图的价值

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发布时间：2019-02-26

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Description

“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和。
给定n和k，请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和。因为答案很大，请对998244353取模输出。

Input

第一行包含两个正整数n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000)。

Output

输出一行一个整数，即答案对998244353取模的结果。

Sample Input

6 5

Sample Output

67584000

题解

一般都要单独考虑一个点的贡献
显然这个点的贡献是独立的，最后乘一个n就可以
那单独一个点的贡献就是
$\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^i*2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}*i^k$
2的次幂是常数，提到前面去，把n减一，显然我们只需要算
$\sum_{i=1}^nC_{n}^{i}*i^k$
根据第二类斯特林数的性质，我们可以知道
$\sum_{i=1}^nC_{n}^{i}\sum_{j=0}^{min(i,k)}S(k,j)*j!*C_{i}^{j}$
乘法分配律一下，显然可以把斯特林数提前
$\sum_{i=0}^{min(n,k)}S(k,i)*i!*\sum_{j=i}^{n}C_n^j*C_{j}^{i}$
后面的式子的意义就是在n中选i个数，其它可选可不选，所以就是
$\sum_{i=0}^{min(n,k)}S(k,i)*i!*C_{n}^{i}*2^{n-i}$
现在就是要算前面的斯特林数了
可以容斥然后NTT $n l o g n$ 求，点一下就知道啦

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           #include
            
             #define LL long long#define mp(x,y) make_pair(x,y)#define pll pair
             
              #define pii pair
              
               using namespace std;inline LL read(){ LL f=1,x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f;}int stack[20];inline void write(int x){ if(x<0){ putchar('-');x=-x;} if(!x){ putchar('0');return;} int top=0; while(x)stack[++top]=x%10,x/=10; while(top)putchar(stack[top--]+'0');}inline void pr1(int x){ write(x);putchar(' ');}inline void pr2(int x){ write(x);putchar('\n');}const LL mod=998244353;const int MAXN=200005;LL pow_mod(LL a,LL b){ LL ret=1; while(b) { if(b&1)ret=ret*a%mod; a=a*a%mod;b>>=1; } return ret;}LL A[MAXN*4],B[MAXN*4];int R[MAXN*4],L;void NTT(LL *y,int len,int on){ for(int i=0;i
               
                
                 =0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod; n=read();K=read();n--; init(); int ln; for(ln=1;ln<=2*K;ln<<=1)L++; for(int i=0;i
                 
                  >1]>>1)|(i&1)<<(L-1); int temp=-1; for(int i=0;i<=K;i++) { temp*=-1; A[i]=temp*inv[i]%mod; LL u1=pow_mod(i,K),u2=inv[i]; B[i]=u1*u2%mod; } NTT(A,ln,1);NTT(B,ln,1); for(int i=0;i